题目内容

椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1两渐近线为l1、l2，过椭圆C的右焦点F作直线l，使l⊥l1，又设l与l2交于点P，l与C两交点自上而下依次为A、B；
（1）当l1与l2夹角为
π
3
，双曲线焦距为4时，求椭圆C的方程及其离心率；
（2）若
FA
=λ
AP
，求λ的最小值．
（1）由l1与l2夹角为
π
3
知，
b
a
=tan
π
6
=
3
3
…（1分）
又焦距为4∴a=
3
，b=1
∴椭圆C：
x2
3
+y2=1，
e=
2
3
=
6
3
．…（3分）
（2）不妨设l1：y=
b
a
x，l2：y=-
b
a
x则l：y=-
a
b
(x-c)
联立：
y=-
a
b
(x-c)
y=-
a
b
x
⇒P（
a2
c
，-
ab
c
）
由
FA
=λ
AP
得，
XA=
c+λ•
a2
c
1+λ
yA=
λ•(-
ab
c
)
1+λ

又点A椭圆上，∴
(c+
λa2
c
)2
(1+λ)2a2
+
(-
abλ
c
)2
(1+λ)2•b2
=1
整理得λ2=
(a2-c2)c2
a2(2a2-c2)
…（7分）
∴λ2=
e2-e4
2-e2
=
(e2-2)2+3(e2-2)+2
e2-2
=（e2-2）+
2
e2-2
+3
∵0＜e＜1∴-2＜e2-2＜-1
∴-3＜（e2-2）+
2
e2-2
≤-2
2

∴0＜λ2≤3-2
2
．
由题知，λ＜0∴1-
2
≤λ＜0…（9分）
所以，λ的最小值为1-
2
．…（10分）
练习册系列答案
相关题目
如图，抛物线顶点在原点，圆x2+y2=4x的圆心是抛物线的焦点，直线l过抛物线的焦点，且斜率为2，直线l交抛物线与圆依次为A、B、C、D四点．

（1）求抛物线的方程．
（2）求|AB|+|CD|的值．
双曲线E的渐近线方程为y=±
4
3
x，且经过点(2
3
，
4
3
3
)
（1）求双曲线E的方程；
（2）F1，F2为双曲线E的两个焦点，P为双曲线上一点，若|PF1|•|PF2|=32，求∠F1PF2的大小．
如图所示，F1，F2分别为椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右两个焦点，A，B为两个顶点，已知椭圆C上的点到F1，F2两点的距离之和为4且b=
3
．
（1）求椭圆C的方程和焦点坐标；
（2）过椭圆C的焦点F2作AB的平行线交椭圆于P，Q两点，求△F1PQ的面积．
已知椭圆Γ：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
2
2
，且椭圆Γ的右焦点F与抛物线y2=4x的焦点重合．
（Ⅰ）求椭圆Γ的标准方程；
（Ⅱ）过左焦点F的直线l与椭圆交于A，B两点，是否存在直线l，使得OA⊥OB，O为坐标原点，若存在，求出l的方程，若不存在，说明理由．
设椭圆方程为x2+
y2
4
=1，过点M（0，1）的直线l交椭圆于点A、B，O是坐标原点，点P满足
OP
=
1
2
(
OA
+
OB
)，点N的坐标为(
1
2
，
1
2
)，当l绕点M旋转时，求：
（1）动点P的轨迹方程；
（2）|
NP
|的最小值与最大值．
椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率为
3
2
，长轴端点与短轴端点间的距离为
5
．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点D（0，4）的直线l与椭圆C交于两点E，F，O为坐标原点，若OE⊥OF，求直线l的斜率．
已知双曲线C：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e．直线l：y=ex+a与x轴、y轴分别交于A，B两点．
（1）求证：直线l与双曲线C只有一个公共点；
（2）设直线l与双曲线C的公共点为M，且
AM
=λ
AB
，证明：λ+e2=1；
（3）设P是点F1关于直线l的对称点，当△PF1F2为等腰三角形时，求e的值．
如图，梯形ABCD的底边AB在y轴上，原点O为AB的中点，|AB|=
4
2
3
，|CD|=2-
4
2
3
，AC⊥BD．M为CD的中点．
（Ⅰ）求点M的轨迹方程；
（Ⅱ）过M作AB的垂线，垂足为N，若存在正常数λ0，使
MP
=λ0
PN
，且P点到A、B的距离和为定值，求点P的轨迹E的方程；
（Ⅲ）过（0，
1
2
）的直线与轨迹E交于P、Q两点，求△OPQ面积的最大值．

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