题目内容

已知双曲线C:
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)
的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为e.直线l:y=ex+a与x轴、y轴分别交于A,B两点.
(1)求证:直线l与双曲线C只有一个公共点;
(2)设直线l与双曲线C的公共点为M,且
AM
AB
,证明:λ+e2=1;
(3)设P是点F1关于直线l的对称点,当△PF1F2为等腰三角形时,求e的值.
(1)证明:因为A、B分别是直线l:y=ex+a与x轴、y轴的交点,
所以点A、B的坐标分别是A(-
a2
c
,0)
,B(0,a),
y=ex+a
x2
a2
-
y2
b2
=1
整理得x2+2cx+c2=0,解得
x=-c
y=-
b2
a
M(-c,-
b2
a
)

所以直线l与双曲线C只有一个公共点、…(3分)
(2)因为
AM
AB
,所以(-c+
a2
c
,-
b2
a
)=λ(
a2
c
,a)

所以-
b2
a
=λa
λ=-
b2
a2
=-
c2-a2
a2
=1-e2
,即λ+e2=1…(6分)
(3)(ⅰ)因为直线AB为F1P的中垂线,而F2不在直线AB上(点A与F2不重合),
所以|F2F1|≠|F2P|;…(7分)
(ⅱ)若|F2F1|=|F1P|,则
1
2
|F1P|=
1
2
|F1F2|

所以
|e(-c)+0+a|
1+e2
=c
,整理得3c2=a2,所以e=
3
3
<1
,不符合题意.…(9分)
(ⅲ)若|PF2|=|PF1|,则点P在y轴上,设P(0,yp),则kPF1=
yp
0-(-c)
=-
1
kAB
=-
a
c

所以yP=-a,即P(0,-a),
设N是PF1的中点,则N(-
c
2
,-
a
2
)
,代入直线l的方程,得-
a
2
=e(-
c
2
)+a

整理得c2=3a2,e2=3,所以e=
3
.…(12分)
综上,当△PF1F2为等腰三角形时,e=
3
练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网