题目内容
已知双曲线C:
-
=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为e.直线l:y=ex+a与x轴、y轴分别交于A,B两点.
(1)求证:直线l与双曲线C只有一个公共点;
(2)设直线l与双曲线C的公共点为M,且
=λ
,证明:λ+e2=1;
(3)设P是点F1关于直线l的对称点,当△PF1F2为等腰三角形时,求e的值.
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
(1)求证:直线l与双曲线C只有一个公共点;
(2)设直线l与双曲线C的公共点为M,且
AM |
AB |
(3)设P是点F1关于直线l的对称点,当△PF1F2为等腰三角形时,求e的值.
(1)证明:因为A、B分别是直线l:y=ex+a与x轴、y轴的交点,
所以点A、B的坐标分别是A(-
,0),B(0,a),
解
整理得x2+2cx+c2=0,解得
即M(-c,-
),
所以直线l与双曲线C只有一个公共点、…(3分)
(2)因为
=λ
,所以(-c+
,-
)=λ(
,a).
所以-
=λa,λ=-
=-
=1-e2,即λ+e2=1…(6分)
(3)(ⅰ)因为直线AB为F1P的中垂线,而F2不在直线AB上(点A与F2不重合),
所以|F2F1|≠|F2P|;…(7分)
(ⅱ)若|F2F1|=|F1P|,则
|F1P|=
|F1F2|,
所以
=c,整理得3c2=a2,所以e=
<1,不符合题意.…(9分)
(ⅲ)若|PF2|=|PF1|,则点P在y轴上,设P(0,yp),则kPF1=
=-
=-
,
所以yP=-a,即P(0,-a),
设N是PF1的中点,则N(-
,-
),代入直线l的方程,得-
=e(-
)+a,
整理得c2=3a2,e2=3,所以e=
.…(12分)
综上,当△PF1F2为等腰三角形时,e=
.
所以点A、B的坐标分别是A(-
a2 |
c |
解
|
|
b2 |
a |
所以直线l与双曲线C只有一个公共点、…(3分)
(2)因为
AM |
AB |
a2 |
c |
b2 |
a |
a2 |
c |
所以-
b2 |
a |
b2 |
a2 |
c2-a2 |
a2 |
(3)(ⅰ)因为直线AB为F1P的中垂线,而F2不在直线AB上(点A与F2不重合),
所以|F2F1|≠|F2P|;…(7分)
(ⅱ)若|F2F1|=|F1P|,则
1 |
2 |
1 |
2 |
所以
|e(-c)+0+a| | ||
|
| ||
3 |
(ⅲ)若|PF2|=|PF1|,则点P在y轴上,设P(0,yp),则kPF1=
yp |
0-(-c) |
1 |
kAB |
a |
c |
所以yP=-a,即P(0,-a),
设N是PF1的中点,则N(-
c |
2 |
a |
2 |
a |
2 |
c |
2 |
整理得c2=3a2,e2=3,所以e=
3 |
综上,当△PF1F2为等腰三角形时,e=
3 |
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