题目内容

已知椭圆Γ:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的离心率为
2
2
,且椭圆Γ的右焦点F与抛物线y2=4x的焦点重合.
(Ⅰ)求椭圆Γ的标准方程;
(Ⅱ)过左焦点F的直线l与椭圆交于A,B两点,是否存在直线l,使得OA⊥OB,O为坐标原点,若存在,求出l的方程,若不存在,说明理由.
(Ⅰ)设F(c,0),
∵抛物线y2=4x的焦点坐标为(1,0),且椭圆Γ的右焦点F与抛物线y2=4x的焦点重合,∴c=1,
e=
c
a
=
2
2
,得a=
2
,于是有b2=a2-c2=1.
故椭圆Γ的标准方程为
x2
2
+y2=1

(2)假设存在直线l满足题意.
①当直线l为x=-1时,A(-1,
2
2
)
B(-1,-
2
2
)

OA
OB
=(-1,
2
2
)•(-1,-
2
2
)
=1-
1
2
≠0
,此时OA⊥OB不成立,与已知矛盾,舍去.
②设直线l的方程为y=k(x+1),代入
x2
2
+y2=1
,消去y得,(2k2+1)x2+4k2x+2k2-2=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
x1+x2=-
4k2
2k2+1
x1x2=
2k2-2
2k2+1

OA
OB
=(x1y1)•(x2y2)
=x1x2+y1y2
=(k2+1)x1x2+k2(x1+x2)+k2=(k2+1)
2k2-2
2k2+1
+k2
-4k2
2k2+1
+k2=
k2-2
2k2+1
=0
⇒k=±
2

∴直线l的方程为y=±
2
(x+1)

2
x-y+
2
=0
2
x+y+
2
=0
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