题目内容
已知椭圆Γ:
+
=1(a>b>0)的离心率为
,且椭圆Γ的右焦点F与抛物线y2=4x的焦点重合.
(Ⅰ)求椭圆Γ的标准方程;
(Ⅱ)过左焦点F的直线l与椭圆交于A,B两点,是否存在直线l,使得OA⊥OB,O为坐标原点,若存在,求出l的方程,若不存在,说明理由.
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
| ||
2 |
(Ⅰ)求椭圆Γ的标准方程;
(Ⅱ)过左焦点F的直线l与椭圆交于A,B两点,是否存在直线l,使得OA⊥OB,O为坐标原点,若存在,求出l的方程,若不存在,说明理由.
(Ⅰ)设F(c,0),
∵抛物线y2=4x的焦点坐标为(1,0),且椭圆Γ的右焦点F与抛物线y2=4x的焦点重合,∴c=1,
又e=
=
,得a=
,于是有b2=a2-c2=1.
故椭圆Γ的标准方程为
+y2=1;
(2)假设存在直线l满足题意.
①当直线l为x=-1时,A(-1,
),B(-1,-
),
•
=(-1,
)•(-1,-
)=1-
≠0,此时OA⊥OB不成立,与已知矛盾,舍去.
②设直线l的方程为y=k(x+1),代入
+y2=1,消去y得,(2k2+1)x2+4k2x+2k2-2=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=-
,x1x2=
,
∴
•
=(x1,y1)•(x2,y2)=x1x2+y1y2
=(k2+1)x1x2+k2(x1+x2)+k2=(k2+1)
+k2
+k2=
=0⇒k=±
∴直线l的方程为y=±
(x+1),
即
x-y+
=0或
x+y+
=0.
∵抛物线y2=4x的焦点坐标为(1,0),且椭圆Γ的右焦点F与抛物线y2=4x的焦点重合,∴c=1,
又e=
c |
a |
| ||
2 |
2 |
故椭圆Γ的标准方程为
x2 |
2 |
(2)假设存在直线l满足题意.
①当直线l为x=-1时,A(-1,
| ||
2 |
| ||
2 |
OA |
OB |
| ||
2 |
| ||
2 |
1 |
2 |
②设直线l的方程为y=k(x+1),代入
x2 |
2 |
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=-
4k2 |
2k2+1 |
2k2-2 |
2k2+1 |
∴
OA |
OB |
=(k2+1)x1x2+k2(x1+x2)+k2=(k2+1)
2k2-2 |
2k2+1 |
-4k2 |
2k2+1 |
k2-2 |
2k2+1 |
2 |
∴直线l的方程为y=±
2 |
即
2 |
2 |
2 |
2 |
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