题目内容
MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB=2
．
（1）求点A到平面MBC的距离；
（2）求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值．
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（1）求点A到平面MBC的距离；
（2）求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值．
考点：用空间向量求平面间的夹角,点、线、面间的距离计算,二面角的平面角及求法
专题：空间位置关系与距离,空间角
分析：取CD中点O，连OB，OM，以O为原点，直线OC、BO、OM为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，求出O，C，M，B，A的坐标
（1）求出平面MBC的法向量，利用空间距离公式求解即可．
（2）求出设平面ACM的法向量，平面BCD的法向量，利用空间向量的数量积求解即可．
（1）求出平面MBC的法向量，利用空间距离公式求解即可．
（2）求出设平面ACM的法向量，平面BCD的法向量，利用空间向量的数量积求解即可．
解答：
解：取CD中点O，连OB，OM，则OB⊥CD，OM⊥CD，又平面MCD⊥平面BCD，则MO⊥平面BCD．
以O为原点，直线OC、BO、OM为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系如图．
OB=OM=
，则各点坐标分别为O（0，0，0），C（1，0，0），M（0，0，
），B（0，-
，0），A（0，-
，2
），
（1）设
=(x，y，z)是平面MBC的法向量，则
=(1，
，0)，
=(0，
，
)，由
⊥
得x+
y=0；由
⊥
得
y+
z=0；取
=(
，-1，1)，
=(0，0，2
)，则距离d=
=
（2）
=(-1，0，
)，
=(-1，-
，2
)．
z设平面ACM的法向量为
=（x，y，z），
由
得
．解得x=
z，y=z，取
=(
，1，1)．
又平面BCD的法向量为
=(0，0，1)，则cos＜
，
＞=
=
设所求二面角为θ，则sinθ=
=
．
以O为原点，直线OC、BO、OM为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系如图．
OB=OM=
| 3 |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
（1）设
| n |
| BC |
| 3 |
| BM |
| 3 |
| 3 |
| n |
| BC |
| 3 |
| n |
| BM |
| 3 |
| 3 |
| n |
| 3 |
| BA |
| 3 |
|
| ||||
|
|
2
| ||
| 5 |
（2）
| CM |
| 3 |
| CA |
| 3 |
| 3 |
z设平面ACM的法向量为
| n1 |
由
|
|
| 3 |
| n1 |
| 3 |
又平面BCD的法向量为
| n |
| n1 |
| n |
| ||||
|
|
| 1 | ||
|
设所求二面角为θ，则sinθ=
1-(
|
2
| ||
| 5 |
点评：本题考查空间向量的应用，点到平面的距离的解法，二面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．
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若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
| A、27π | B、9π | C、3π | D、π |
由
＞
，
＞
，
＞
若a＞b＞0，m＞0，则
与
的关系（ ）
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| 9 |
| 11 |
| 8 |
| 10 |
| 21 |
| 25 |
| 15 |
| 19 |
| b+m |
| a+m |
| b |
| a |
| A、相等 | B、前者大 |
| C、后者大 | D、不确定 |
