Question

20．设数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=3a_n+2．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{na_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用递推关系与等比数列的通项公式即可得出．
（2）na_n=-n$（\frac{3}{2}）^{n-1}$．再利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）∵S_n=3a_n+2，∴当n=1时，a₁=3a₁+2，解得a₁=-1．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（3a_n+2）-（3a_n-1+2），化为${a}_{n}=\frac{3}{2}{a}_{n-1}$，
∴数列{a_n}是等比数列，首项为-1，公比为$\frac{3}{2}$，解得a_n=-$（\frac{3}{2}）^{n-1}$．
（2）na_n=-n$（\frac{3}{2}）^{n-1}$．
∴数列{na_n}的前n项和T_n=-1-$2×\frac{3}{2}$-3×$（\frac{3}{2}）^{2}$-…-$n×（\frac{3}{2}）^{n-1}$，
即-T_n=1+$2×\frac{3}{2}$+3×$（\frac{3}{2}）^{2}$+…+$n×（\frac{3}{2}）^{n-1}$，
$-\frac{3}{2}{T}_{n}$=$\frac{3}{2}$+2×$（\frac{3}{2}）^{2}$+…+（n-1）×$（\frac{3}{2}）^{n-1}$+n×$（\frac{3}{2}）^{n}$，
∴$\frac{1}{2}{T}_{n}$=1+$\frac{3}{2}$+$（\frac{3}{2}）^{2}$+…+$（\frac{3}{2}）^{n-1}$-n×$（\frac{3}{2}）^{n}$=$\frac{（\frac{3}{2}）^{n}-1}{\frac{3}{2}-1}$-n×$（\frac{3}{2}）^{n}$=$（2-n）×（\frac{3}{2}）^{n}$-2，
∴T_n=$（4-2n）×（\frac{3}{2}）^{n}$-4．

点评 本题考查了递推关系、等比数列的通项公式与前n项和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．