Question

10．已知函数f（x）是（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，当x＞0时，f（x）=-$\frac{1}{x}$+1
（1）当x＜0时，求函数f（x）的解析式；
（2）证明函数f（x）在区间（-∞，0）上是单调增函数．

Answer 1

分析 （1）根据函数f（x）是奇函数，得出f（-x）=-f（x），
再根据x＞0时f（x）的解析式，求出x＜0时f（x）的解析式；
（2）用定义证明f（x）是（-∞，0）上的单调增函数即可．

解答 解：（1）函数f（x）是（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，
∴f（-x）=-f（x）；
又x＞0时，f（x）=-$\frac{1}{x}$+1，
∴x＜0时，-x＞0，
∴f（-x）=-$\frac{1}{-x}$+1=$\frac{1}{x}$+1；
∴-f（x）=$\frac{1}{x}$+1，
∴f（x）=-$\frac{1}{x}$-1；
即x＜0时，f（x）=-$\frac{1}{x}$-1；
（2）证明：任取x₁、x₂∈（-∞，0），且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=（-$\frac{1}{{x}_{1}}$-1）-（-$\frac{1}{{x}_{2}}$-1）=$\frac{1}{{x}_{2}}$-$\frac{1}{{x}_{1}}$=$\frac{{x}_{1}{-x}_{2}}{{{x}_{1}x}_{2}}$，
∵x₁＜x₂＜0，∴x₁x₂＞0，x₁-x₂＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）是（-∞，0）上的单调增函数．

点评 本题考查了函数的奇偶性与单调性的应用问题，是基础题目．