Question

9．已知等边△ABC的两个顶点分别为A（1，0，1），B（-1，0，1），且它的第三个顶点C在坐标轴上，求顶点C的坐标．

Answer 1

分析 讨论点C分别在x轴、y轴和z轴上时，求出对应点C的坐标即可．

解答 解：当点C在x轴上时，设为（x，0，0），
∵|AB|=$\sqrt{{（-1-1）}^{2}{+（0-0）}^{2}{+（0-0）}^{2}}$=2，
∴|AC|=|BC|=2，
即（x-1）²+1=（x+1）²+1=4，此时x的值不存在；
当点C在y轴上时，设为（0，y，0），
∵|AB|=2，
∴|AC|=|BC|=2，
即1+y²+1=1+y²+1=4，
解得y=±$\sqrt{2}$，
∴C（0，$\sqrt{2}$，0）或（0，-$\sqrt{2}$，0）；
当点C在z轴上时，设为（0，0，z），
∵|AB|=2，
∴|AC|=|BC|=2，
即1+（z-1）²=（z-1）²+1=4，
解得z=1±$\sqrt{3}$，
∴C（0，0，1+$\sqrt{3}$）或（0，0，1-$\sqrt{3}$）；
综上，点C的坐标为（0，$\sqrt{2}$，0）或（0，-$\sqrt{2}$，0）或（0，0，1+$\sqrt{3}$）或（0，0，1-$\sqrt{3}$）．

点评 本题考查了空间直角坐标系的应用问题，也考查了分类讨论思想的应用问题，是基础题目．