题目内容

如图所示，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，M、N分别是AB、PC的中点，PA＝AD＝a．

求证：(1)MN∥平面PAD；

(2)平面PMC⊥平面PCD．

答案：
解析：

　　证明：如图所示，

　　(1)设PD的中点为E，连结AE、NE，由N为PC的中点，知ENDC．

　　又四边形ABCD是矩形，∴DCAB．

　　∴ENAB．又M是AB的中点，

　　∴ENAM．∴AMNE是平行四边形．

　　∴MN∥AE．而AE平面PAD，NM平面PAD，∴MN∥平面PAD．

　　(2)∵PA＝AD，∴AE⊥PD．又∵PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，

　　∴CD⊥PA，而CD⊥AD，

　　∴CD⊥平面PAD．∴CD⊥AE．

　　∵PD∩CD＝D，∴AE⊥平面PCD．

　　∵MN∥AE，∴MN⊥平面PCD．

　　又MN平面PMC，

　　∴平面PMC⊥平面PCD．


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