Question

如图所示，四棱锥P-ABCD底面是直角梯形，BA⊥AD，CD⊥AD，CD=2AB，PA⊥底面ABCD，E为PC的中点，PA=AD=AB=1．
（1）证明：EB∥平面PAD；
（2）证明：BE⊥平面PDC；
（3）求三棱锥B-PDC的体积V．

Answer 1

分析：（1）取PD中点Q，连EQ，AQ，由已知条件及平行四边形的判定定理，可得四边形ABEQ是平行四边形，进而得到BE∥AQ，进而由线面平行的判定定理得到EB∥平面PAD；
（2）由已知中PA⊥底面ABCD，由线面垂直的性质可得PA⊥CD，结合CD⊥AD，和线面垂直的判定定理可得CD⊥平面PAD，进而由线面垂直性质得到CD⊥AQ，由三线合一得到AQ⊥PD，进而根据线面垂直的判定定理及第二判定定理得到BE⊥平面PDC；
（3）由等体积法可得三棱锥B-PDC的体积等于三棱锥P-BDC，求出底面△BDC及高PA的值，代入棱锥体积公式，即可得到答案．

解答：解（1）证明：取PD中点Q，连EQ，AQ，则QE=

1

2

CD=AB…（1分）

QE∥CD CD∥AB QE=AB

⇒QE

∥ .

.

AB…（2分）⇒四边形ABEQ是平行四边形⇒BE∥AQ…（3分）

BE∥AQ AQ?平面PAD BE?平面PAD

⇒BE∥平面PAD…（5分）
（2）证明：

PA⊥平面ABCD CD?平面ABCD

⇒PA⊥CD，
又∵CD⊥AD，PA∩AD=A
∴CD⊥平面PAD
又∵AQ?平面PAD
∴AQ⊥CD，
又∵PA=AD，Q为PD的中点
∴AQ⊥PD，
又∵PD∩CD=D

⇒AQ⊥平面PCD BE∥AQ

⇒BE⊥平面PCD．…（10分）
（3）S△BDC=

1

2

AD•DC=

1

2

×1×2=1…（11分）
VB-PDC=VP-BDC=

1

3

PA•S△BDC=

1

3

．…（13分）

点评：本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，锥锥的体积，其中（1）的关键是在平面PAD中找到BE∥AQ，（2）的关键是熟练掌握线线垂直与线面垂直之间的相互转化，（3）的关键是由等体积法将三棱锥B-PDC的体积化为三棱锥P-BDC．