Question

如图所示，四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，∠ADC=∠DCB=90°，AD=1，BC=3，PC=CD=2，PC⊥底面ABCD，E为AB的中点．
（Ⅰ）求证：平面PDE⊥平面PAC；
（Ⅱ）求二面角C-PD-E的大小；
（Ⅲ）求点B到平面PDE的距离．

Answer 1

分析：（I）由题意，利用三角形相似及角的互余得到线线垂直，再利用线面垂直的判定定理求出线面垂直，进而利用面面垂直的判定定理证出面面垂直；
（II）利用面面垂直及三垂线定理求出二面角的平面角，然后再三角形中解出二面角的大小；
（III）利用线面垂直的性质及直角三角形求出点到面的距离．

解答：解：（Ⅰ）设AC与DE交点为G，延长DE交CB的延长线于点F，
则△DAE≌△FBE，∴BF=AD=1，∴CF=4，∴tan∠F=

DC

CF

=

1

2

，
又∵tan∠ACD=

AD

DC

=

1

2

，∴∠F=∠ACD，
又∵∠ACD+∠ACF=90°，∴∠F+∠ACF=90°，
∴∠CGF=90°，∴AC⊥DE
又∵PC⊥底面ABCD，∴PC⊥DE，∴DE⊥平面PAC，
∵DE?平面PDE，∴平面PDE⊥平面PAC
（Ⅱ）连接PG，过点C作CH⊥PG于H点，取PD中点I，连接CI，易知CI⊥PD
又由（Ⅰ）知平面PDE⊥平面PAC，且PG是交线，
根据面面垂直的性质，得CH⊥平面PDE，
由三垂线定理知HI⊥PD
从而∠CIH为二面角C-PD-E的平面角
在等腰Rt△PCD中，CI=

2

2

PC=

2

；
在Rt△DCA中，CG=

CD2

AC

=

22

22+12

=

4 5

5

，
在Rt△PCG中，CH=

PC•CG

PG

=

PC•CG

PC2+CG2

=

2• 4 5 5

6 5 5

=

4

3

从而sin∠CIH=

CH

CI

=

2 2

3

，则∠CIH=arcsin

2 2

3

即二面角C-PD-E的大小为arcsin

2 2

3

（Ⅲ）由于BF=

1

4

CF，所以可知点B到平面PDE的距离等于点C到平面PDE的距离的

1

4

，即

1

4

CH．在Rt△PCG中，CH=

PC•CG

PC2+CG2

=

2× 4 5 5

22+( 4 5 5 )2

=

4

3

，
从而点B到平面PDE的距离等于

1

3

．

点评：此题重点考查了三角形相似，线线垂直，线面垂直的判定及性质，面面垂直的判定及性质，还考查了利用三垂线定理求出二面角，点到平面的距离定义及利用反三角函数表示角的大小，