Question

15．（1）若函数f（x）=$\sqrt{（{a}^{2}-1）{x}^{2}+（a-1）x+\frac{2}{a+1}}$的定义域为R，求实数a的范围；
（2）判断k为何值时，函数f（x）=$\frac{2kx-8}{k{x}^{2}+2kx+1}$的定义域为R．

Answer 1

分析 （1）根据函数f（x）的定义域为R，得出（a²-1）x²+（a-1）x+$\frac{2}{a+1}$≥0恒成立，讨论a的取值，求出满足条件的实数a的取值范围；
（2）根据函数f（x）的定义域为R，得出kx²+2kx+1≠0恒成立，求出k的取值范围即可．

解答 解：（1）∵函数f（x）=$\sqrt{（{a}^{2}-1）{x}^{2}+（a-1）x+\frac{2}{a+1}}$的定义域为R，
∴（a²-1）x²+（a-1）x+$\frac{2}{a+1}$≥0恒成立；
当a²-1=0时，解得a=±1，
若a=1，则1≥0恒成立，
若a=-1，则$\frac{2}{a+1}$分母为0，无意义；
当a²-1≠0时，应满足$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-1＞0}\\{{（a-1）}^{2}-4{（a}^{2}-1）•\frac{2}{a+1}≤0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a＜-1或a＞1}\\{1≤a≤9}\end{array}\right.$；
综上，实数a的取值范围是[1，9]；
（2）∵函数f（x）=$\frac{2kx-8}{k{x}^{2}+2kx+1}$的定义域为R，
∴kx²+2kx+1≠0恒成立，
当k=0时，f（x）=-8是常函数，定义域为R；
当k≠0时，须△＜0，即4k²-4k＜0，
解得0＜k＜1；
综上，当k∈[0，1）时，函数f（x）的定义域为R．

点评 本题考查了函数恒成立问题，也考查了转化思想与不等式的解法问题，是综合性题目．