Question

11．已知函数f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$$\frac{1-ax}{x-1}$的图象关于原点对称，其中a为常数．
（1）求a的值；
（2）当x∈（1，+∞）时，f（x）+log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x+1）＜m恒成立，求实数m的取值范围；
（3）若关于x的方程f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x+k）在[2，3]上有解，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据函数的奇偶性，求出a的值即可；
（2）求出f（x）+${log}_{\frac{1}{2}}$（x-1）=${log}_{\frac{1}{2}}$（1+x），根据函数的单调性求出m的范围即可；
（3）问题转化为k=$\frac{2}{x-1}$-x+1在[2，3]上有解，即g（x）=$\frac{2}{x-1}$-x+1在[2，3]上递减，根据函数的单调性求出g（x）的值域，从而求出k的范围即可．

解答 解：（1）∵函数f（x）的图象关于原点对称，
∴函数f（x）为奇函数，
∴f（-x）=-f（x），
即${log}_{\frac{1}{2}}$$\frac{1+ax}{-x-1}$=-${log}_{\frac{1}{2}}$$\frac{1-ax}{x-1}$=${log}_{\frac{1}{2}}$$\frac{x-1}{1-ax}$，
解得：a=-1或a=1（舍）；
（2）f（x）+${log}_{\frac{1}{2}}$（x-1）=${log}_{\frac{1}{2}}$$\frac{1+x}{1-x}$+${log}_{\frac{1}{2}}$（x-1）=${log}_{\frac{1}{2}}$（1+x），
x＞1时，${log}_{\frac{1}{2}}$（1+x）＜-1，
∵x∈（1，+∞）时，f（x）+${log}_{\frac{1}{2}}$（x-1）＜m恒成立，
∴m≥-1；
（3）由（1）得：f（x）=${log}_{\frac{1}{2}}$（x+k），
即${log}_{\frac{1}{2}}$$\frac{x+1}{x-1}$=${log}_{\frac{1}{2}}$（x+k），
即$\frac{x+1}{x-1}$=x+k，即k=$\frac{2}{x-1}$-x+1在[2，3]上有解，
g（x）=$\frac{2}{x-1}$-x+1在[2，3]上递减，
g（x）的值域是[-1，1]，
∴k∈[-1，1]．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查函数的奇偶性以及函数的值域问题，是一道中档题．