Question

2．已知圆C：x²+（y-1）²=9，直线l：x-my+m-2=0，且直线l与圆C相交于A、B两点．
（Ⅰ）若|AB|=4$\sqrt{2}$，求直线l的倾斜角；
（Ⅱ）若点P（2，1）满足$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{PB}$，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）若|AB|=4$\sqrt{2}$，则圆心到直线的距离为$\sqrt{9-8}$=1，利用点到直线的距离公式，建立方程，即可求直线l的倾斜角；
（Ⅱ）若点P（2，1）满足$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{PB}$，则P为AB的中点，求出直线的斜率，即可求直线l的方程．

解答 解：（Ⅰ）若|AB|=4$\sqrt{2}$，则圆心到直线的距离为$\sqrt{9-8}$=1，
∴$\frac{|-2|}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$=1，∴m=$±\sqrt{3}$，
∴直线的斜率为$±\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴直线l的倾斜角为30°或150°；
（Ⅱ）若点P（2，1）满足$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{PB}$，则P为AB的中点，
∵k_CP=0，∴直线l的斜率不存在，
∴直线l的方程为x=2．

点评 此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，垂径定理，以及勾股定理的运用，当直线与圆相交时，常常根据垂径定理由垂直得中点，进而再由弦心距，圆的半径及弦长的一半，利用勾股定理解决问题．