Question

9．在△ABC中，已知sinB=cosAsinC
（1）判断△ABC的形状
（2）若$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=9，又△ABC的面积等于6．求△ABC的三边之长；
（3）在（2）的条件下，设P是△ABC（含边界）内一点，P到三边AB，BC，CA的距离分别为d₁，d₂，d₃，求d₁+d₂+d₃的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意和三角形的知识可得cosC=0，可得C=90°，△ABC为直角三角形；
（2）由数量积的意义可得$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=|$\overrightarrow{AC}$|²=9，可得AC=3，再由三角形的面积公式可得BC=4，由勾股定理可得AB=5；
（3）以C为原点，CA、CB所在直线分别为x、y轴建立直角坐标系，设P的坐标为（x，y），可得d₁+d₂+d₃=$\frac{x+2y+12}{5}$，且$\left\{\begin{array}{l}{x≥0}\\{y≥0}\\{4x+3y-12≤0}\end{array}\right.$，令x+2y=m，由线性规划的知识可得．

解答 解：（1）∵在△ABC中sinB=cosAsinC，
∴sin（A+C）=cosAsinC，
∴sinAcosC+cosAsinC=cosAsinC，
∴sinAcosC=0，即cosC=0，C=90°，
∴△ABC为直角三角形；
（2）∵$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=|$\overrightarrow{AC}$|²=9，解得AC=3，
又ABC的面积S=$\frac{1}{2}$×3×BC=6，∴BC=4，
由勾股定理可得AB=5；
（3）以C为原点，CA、CB所在直线分别为x、y轴建立直角坐标系，
则A（3，0），B（0，4），可得直线AB的方程为$\frac{x}{3}$+$\frac{y}{4}$=1，即4x+3y-12=0，
设P的坐标为（x，y），则d₁+d₂+d₃=x+y+$\frac{|4x+3y-12|}{\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}}$，且$\left\{\begin{array}{l}{x≥0}\\{y≥0}\\{4x+3y-12≤0}\end{array}\right.$，
∴d₁+d₂+d₃=x+y-$\frac{4x+3y-12}{5}$=$\frac{x+2y+12}{5}$，
令x+2y=m，由线性规划的知识可知0≤m≤8
∴d₁+d₂+d₃的取值范围为[$\frac{12}{5}$，4]

点评 本题考查解三角形，涉及向量的知识和简单线性规划，数形结合是解决问题的关键，属中档题．