Question

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的焦点到其渐近线的距离等于2，抛物线y²=2px的焦点为双曲线的右焦点，双曲线截抛物线的准线所得的线段长为4，则抛物线方程为（　　）

• A、y²=4x
• B、y²=4

  2

  x
• C、y²=8

  2

  x
• D、y²=8x

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设出双曲线的焦点，渐近线方程，运用点到直线的距离公式，求得b=2，再由抛物线的焦点和准线方程，求得弦长，可得a=2，再由a，b，c的关系，可得c，即可得到p，进而得到抛物线方程．

解答： 解：设双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的焦点为（c，0），渐近线方程为y=

b

a

x，
则焦点到其渐近线的距离为

bc

a2+b2

=

bc

c

=b=2，
抛物线y²=2px的焦点为双曲线的右焦点，则有c=

p

2

，
双曲线截抛物线的准线所得的线段长为4，
则令x=-

p

2

=-c，代入双曲线方程，可得y=±b

c2 a2 -1

=±

b2

a

．
则有

2b2

a

=4，解得，a=2，即有c=

a2+b2

=2

2

，
则p=4

2

．
故抛物线方程为y²=8

2

x．
故选C．

点评：本题考查抛物线和双曲线的方程和性质，考查渐近线方程和准线方程的运用，考查运算能力，属于基础题．