Question

16．若不等式|2x-3|＜4与不等式x²+px+q＜0的解集相同
（ I）求实数p，q值；
（ II）若正实数a、b、c满足a+b+c=2p-4q，求证：$\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}≤\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 （I）求出不等式的解集，根据一元二次不等式与一元二次方程的关系得出p，q的值；
（II）利用分析法寻找不等式成立的充分条件，结合基本不等式的性质得出．

解答 解：（I）∵|2x-3|＜4，-4＜2x-3＜4，解得-$\frac{1}{2}$＜x＜$\frac{7}{2}$，
∴x²+px+q=0的解为-$\frac{1}{2}$和$\frac{7}{2}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-p=3}\\{q=-\frac{7}{4}}\end{array}\right.$，即p=-3，q=-$\frac{7}{4}$．
（II）证明：由（I）知a+b+c=2p-4q=1，
要证：$\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}≤\sqrt{3}$．
只需证：（$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$+$\sqrt{c}$）²≤3，即证a+b+c+2（$\sqrt{ab}$+$\sqrt{bc}$+$\sqrt{ac}$）≤3，
∵a+b+c=1，
故只需证：$\sqrt{ab}$+$\sqrt{bc}$+$\sqrt{ac}$≤1，
∵a，b，c均为正数，
∴$\sqrt{ab}$≤$\frac{a+b}{2}$，$\sqrt{bc}$≤$\frac{b+c}{2}$，$\sqrt{ac}$≤$\frac{a+c}{2}$，
∴$\sqrt{ab}$+$\sqrt{bc}$+$\sqrt{ac}$≤$\frac{2（a+b+c）}{2}$=a+b+c=1，
∴$\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}≤\sqrt{3}$．

点评 本题考查了不等式的解法，不等式的证明，属于中档题．