Question

11．设数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2n-a_n（n∈N^*）．
（1）求a₁，a₂，a₃，a₄的值，并猜想a_n的表达式；
（2）证明（1）中猜想的a_n的表达式．

Answer 1

分析 （1）分别令n=1，2，3，4，即可计算出前4项，根据规律猜想通项公式；
（2）根据a_n=S_n-S_n-1得出递推式，得出{a_n-2}为等比数列，从而求出通项公式．

解答 解：（1）因为S_n=2n-a_n，S_n=a₁+a₂+…+a_n，n∈N^*
所以，当n=1时，有a₁=2-a₁，解得${a_1}=1=2-\frac{1}{2^0}$；
当n=2时，有a₁+a₂=2×2-a₂，解得${a_2}=\frac{3}{2}=2-\frac{1}{2^1}$；
当n=3时，有a₁+a₂+a₃=2×3-a₃，解得${a_3}=\frac{7}{4}=2-\frac{1}{2^2}$；
当n=4时，有a₁+a₂+a₃+a₄=2×4-a₄，解得${a_4}=\frac{15}{8}=2-\frac{1}{2^3}$．  
猜想${a_n}=2-\frac{1}{{{2^{n-1}}}}$（n∈N^*）；                                
（2）证明：由S_n=2n-a_n（n∈N^*），得S_n-1=2（n-1）-a_n-1（n≥2），
两式相减，得a_n=2-a_n+a_n-1，即${a_n}=\frac{1}{2}{a_{n-1}}+1$（n≥2）．
两边减2，得${a_n}-2=\frac{1}{2}（{a_{n-1}}-2）$，
所以{a_n-2}是以-1为首项，以$\frac{1}{2}$为公比的等比数列，
∴a_n-2=（-1）×（$\frac{1}{2}$）^n-1=-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，即a_n=2-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$（n∈N^*）．

点评 本题考查了归纳推理，数列的通项公式的求法，属于中档题．