Question

8．已知函数f（x）=ax³+x．
（Ⅰ）若函数f（x）在x=1处取得极值，求实数a的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，函数g（x）=f′（x）（x²+px+q） （其中f′（x）为函数f（x）的导数）的图象关于直线x=1对称，求函数g（x）的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，根据f′（1）=0，求出a的值，检验即可；
（Ⅱ）求出g（x）的解析式，求出函数g（x）的导数，得到函数的单调区间，从而求出g（x）的最大值即可．

解答 解：（Ⅰ） 由f（x）=ax³+x有f'（x）=3ax²+1
因为f（x）在x=1处取得极值，故f'（1）=3a+1=0
∴$a=-\frac{1}{3}$
经检验：当$a=-\frac{1}{3}$时，符合题意，故$a=-\frac{1}{3}$
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：g（x）=（-x²+1）（x²+px+q）
∵g（x）的图象关于直线x=-1对称，故函数g（x-1）为偶函数
又g（x-1）=[-（x-1）²+1][（x-1）²+p（x-1）+q]=-x⁴+（4-p）x³+（3p-q-5）x²+2（1-p+q）x
∴$\left\{\begin{array}{l}4-p=0\\ 2（{1-p+q}）=0\end{array}\right.$，解得p=4，q=3
∴g（x）=（-x²+1）（x²+4x+3）
∴g'（x）=-2x（x²+4x+3）+（-x²+1）（2x+4）=-4（x+1）（x²+2x-1）
令g'（x）＞0有$x＜-1-\sqrt{2}$或$-1＜x＜-1+\sqrt{2}$
令g'（x）＜0有$-1-\sqrt{2}＜x＜-1$或$x＞-1+\sqrt{2}$
∴函数g（x）在区间$（{-∞，-1-\sqrt{2}}），（{-1，-1+\sqrt{2}}）$上单调递增，
在区间$（{-1-\sqrt{2}，-1}），（{-1+\sqrt{2}，+∞}）$上单调递减
∴函数g（x）的最大值为$g（{-1±\sqrt{2}}）=4$

点评 本题考查了函数的单调性、极值、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．