Question

8．在△ABC中，内角A、B、C对边的边长分别是a，b，c，已知c=2，4cos²$\frac{C}{2}$-cosC=$\frac{5}{2}$．
（1）若ab=4，求a，b；
（2）若sinC+sin（B-A）=2sin2A，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由二倍角的余弦函数公式化简已知等式可得cosC=$\frac{1}{2}$，结合范围0＜C＜π，即可得解C的值为$\frac{π}{3}$，由余弦定理进而可解得a，b的值．
（2）利用三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sinBcosA=2sinAcosA，分类讨论分别求得a，b的值，利用三角形面积公式即可得解．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）∵4cos²$\frac{C}{2}$-cosC=$\frac{5}{2}$．
∴由二倍角的余弦函数公式可得：2（cosC+1）-cosC=$\frac{5}{2}$，即：cosC=$\frac{1}{2}$，
∵0＜C＜π，
∴C=$\frac{π}{3}$…2分
由余弦定理及已知条件，可得：a²+b²-ab=4，
∵ab=4，联立解得：a=2，b=2…6分
（2）∵sinC+sin（B-A）=2sin2A，可得：sin（B+A）+sin（B-A）=4sinAcosA，
∴sinBcosA=2sinAcosA，
∴当cosA=0时，即A=$\frac{π}{2}$时，B=$\frac{π}{6}$，a=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，b=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，…8分
当cosA≠0时，可得sinB=2sinA，由正弦定理可得：b=2a，联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+{b}^{2}-ab=4}\\{b=2a}\end{array}\right.$，解得：a=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，b=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，…11分
∴△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$…12分

点评 本题主要考查了二倍角的余弦函数公式，余弦定理，三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和分类讨论思想，属于中档题．