Question

16．已知S_n为等差数列{a_n}的前n项和，且a₄=7，S₄=16．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）设等差数列{a_n}的公差为d，依题意，列出关于首项与公差的方程组，解之即可求数列{a_n}的通项公式；
（2）利用裂项法可得b_n=$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，从而可求数列{b_n}的前n项和T_n．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，依题意得$\left\{{\begin{array}{l}{{a_1}+3d=7}\\{4{a_1}+6d=16}\end{array}}\right.$…（2分）
解得：a₁=1，d=2a_n=2n-1…（5分）
（2）由①得${b_n}=\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$…（7分）
∴${T_n}=\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）+…+（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]=\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）$…（11分）
∴${T_n}=\frac{n}{2n+1}$…（12分）

点评 本题考查等差数列的通项公式的求法及数列的求和，突出考查裂项法求和的应用，属于中档题．