Question

4．已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，且满足$a（cosB+\sqrt{3}sinB）=b+c$．
（1）求A的值；
（2）若$b+c=7，a=\sqrt{7}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知可得$2sin（A-\frac{π}{6}）=1，即sin（A-\frac{π}{6}）=\frac{1}{2}$，结合A的范围，即可得解A的值．
（2）由余弦定理可求bc=14，利用三角形面积公式即可计算得解．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）因为：$a（cosB+\sqrt{3}sinB）=b+c$，
由正弦定理得：$sinAcosB+\sqrt{3}sinAsinB=sinB+sinC$，
所以：$sinAcosB+\sqrt{3}sinAsinB=sinB+sin（A+B）$，
可得：$sinAcosB+\sqrt{3}sinAsinB=sinB+sinAcosB+cosAsinB$，
可得：$\sqrt{3}sinA-cosA=1$，$2sin（A-\frac{π}{6}）=1，即sin（A-\frac{π}{6}）=\frac{1}{2}$．
所以：$A-\frac{π}{6}=\frac{π}{6}$，可得$A=\frac{π}{3}$．（6分）
（2）由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA，即：7=b²+c²-bc，
所以：（b+c）²-3bc=7，
所以：bc=14，
所以：${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{1}{2}×14×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{{7\sqrt{3}}}{2}$．（12分）

点评 本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．