Question

16．已知函数f（x）=x²-（-1）ⁿ2alnx（n∈Z，a＞0）．
（Ⅰ）求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）若n=2016，且函数y=2ax-f（x）有唯一零点x₀，求x₀与a．

Answer 1

分析 （Ⅰ）分类讨论，确定函数的单调性，即可求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）若函数y=2ax-f（x）有唯一零点，即g（x）=-x²+2ax+2alnx=0有唯一解，利用g′（x₀）=0，g（x₀）=0，即可求x₀与a．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=x²-（-1）ⁿ2alnx的定义域为（0，+∞），f′（x）=2x-$\frac{（-1）^{n}•2a}{x}$．
n为奇数，f′（x）=2x+$\frac{2a}{x}$＞0，函数在（0，+∞）上单调递增，无极值；
n为偶数，f′（x）=2x-$\frac{2a}{x}$=0，x∈（0，$\sqrt{a}$），f′（x）＜0，x∈（$\sqrt{a}$，+∞），f′（x）＞0，
∴函数f（x）无极大值，有极小值f（$\sqrt{a}$）=a-alna；
（Ⅱ）n=2016，若函数y=2ax-f（x）有唯一零点，即g（x）=-x²+2ax+2alnx=0有唯一解．
令g′（x）=0，得x²-ax-a=0，
∵a＞0，x＞0，
∴x₀=$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}+4a}}{2}$，
当x∈（0，x₀）时，g′（x）＜0，g（x）在（0，x₀）上是单调递减函数；
当x∈（x₀，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）在（x₀，+∞）上是单调递增函数．
∴当x=x₀时，g′（x₀）=0，g（x）_min=g（x₀），
∵g（x）=0有唯一解，∴g（x₀）=0．
即x₀²-ax₀-a=0，-x₀²+2ax₀+2alnx₀=0
∴两式相加得2alnx₀+ax₀-a=0，
∵a＞0，∴2lnx₀+x₀-1=0①，
设函数h（x）=2lnx+x-1，
∵在x＞0时h（x）是增函数，∴h（x）=0至多有一解．
∵h（1）=0，∴方程①的解为x₀=1，即$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}+4a}}{2}$=1，解得a=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性，极值，考查函数的零点，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．