Question

7．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x²+y²-2x=0
（1）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C的极坐标方程；
（2）设直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=tcosα\\ y=tsinα\end{array}\right.$（t为参数），若直线l与圆C交于A，B两点，且$|AB|=\sqrt{3}$，求直线l的斜率．

Answer 1

分析 （1）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，能求出圆C的极坐标方程．
（2）由直线l的参数方程，求出直线的直角坐标方程，从而能求出直线l的极坐标方程，由|AB|=$\sqrt{3}$，得ρ=$\sqrt{3}$，由此能求出直线l的斜率．

解答 （10分）解：（1）∵圆C的方程为x²+y²-2x=0，
∴由x=ρcosθ，y=ρsinθ，
得圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ．…（4分）
（2）∵直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=tcosα\\ y=tsinα\end{array}\right.$（t为参数），
∴直线的直角坐标方程为y=tanα•x，
∴直线l的极坐标方程为θ=α（ρ∈R）…（6分）
∵|AB|=$\sqrt{3}$，∴ρ=$\sqrt{3}$，
∴cosα=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，…（9分）
∴tanα=$±\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴直线l的斜率为$±\frac{\sqrt{3}}{3}$．…（10分）

点评 本题考查圆的极坐标方程、直线的斜率的求法，考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化及应用，考查推导论证能力、数据得理能力，考查数形结合思想、函数与方程思想，是中档题．