Question

抛物线y=

1

2

x²将圆面x²+y²≤8分成两部分，现在向圆面上均匀投点，这些点落在图中阴影部分的概率为

1

4

+

1

6π

，求

∫

2 0

（

8-x2

-

1

2

x²）dx．

Answer 1

考点：定积分

专题：导数的概念及应用

分析：先求出抛物线y=

1

2

x²将圆面x²+y²≤8分的交点，确定上下限，再由几何概型求得其面积，问题得以解决．

解答： 解：方程组

x2+y2=8 y= 1 2 x2

得x=±2，
∴阴影部分的面积为

∫

2 -2

（

8-x2

-

1

2

x²）dx．
∵圆的面积为8π，
∴由几何概型可得阴影部分的面积是8π×(

1

4

+

1

6π

)=2π+

4

3

，
由定积分的几何意义得，

∫

2 0

（

8-x2

-

1

2

x²）dx
=

1

2

∫

2 -2

（

8-x2

-

1

2

x²）dx．
=π+

2

3

点评：本题主要考查了定积分的几何意义和几何概型，属于基础题．