题目内容

如图，C、D是两个小区所在地，C、D到一条公路AB的垂直距离分别为CA=1km，DB=2km，AB两端之间的距离为6km．

（1）如图1，某移动公司将在AB之间找一点P，在P处建造一个信号塔，使得P对A、C的张角与P对B、D的张角相等，试确定点P的位置．
（2）如图2，环保部门将在AB之间找一点Q，在Q处建造一个垃圾处理厂，使得Q对C、D所张角最大，试确定点Q的位置．
考点：解三角形的实际应用
专题：解三角形
分析：（1）设出PA的长度x，把∠CPA，∠DPB的正切值用含x的代数式表示，由正切值相等求得x的值，即可确定P点的位置；
（2）设出PA的长度x，把∠CQA与∠DQB的正切值用含有x的代数式表示，最后把∠CQD的正切值用含有x的代数式表示，换元后再利用基本不等式求最值，最后得到使Q对C、D所张角最大时的x值，即可确定点Q的位置．
解答： 解：（1）设PA=x，∠CPA=α，∠DPB=β．
依题意有tanα=
1
x
，tanβ=
2
6-x
．
由tanα=tanβ，得
1
x
=
2
6-x
，解得x=2，故点P应选在距A点2km处；
（2）设PA=x，∠CQA=α，∠DQB=β．
依题意有tanα=
1
x
，tanβ=
2
6-x
，
tan∠CQD=tan[π-（α+β）]=-tan（α+β）=-
1
x
+
2
6-x
1-
1
x
•
2
6-x
=
x+6
x2-6x+2
，
令t=x+6，由0＜x＜6，得6＜t＜12，
则tan∠CQD=
x+6
x2-6x+2
=
t
t2-18t+74
=
1
t+
74
t
-18
，
∵2
74
≤t+
74
t
＜6+
74
6
=
55
3
，
∴2
74
-18≤t+
74
t
-18＜
1
3
，
当2
74
-18≤t+
74
t
-18＜0时，所张的角为钝角，
当t=
74
，即x=
74
-6时取得最大角，
故点Q应选在距A点
74
-6km处．
点评：本题考查解三角形的实际应用，考查了利用基本不等式求最值，解答的关键是把实际问题转化为数学问题，是中档题．
练习册系列答案
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二项式（2x2-
1
3x
）6的展开式中第4项的系数是（　　）
A、20B、60
C、-160D、160
如图，设P1，P2，…，P6为单位圆上逆时针均匀分布的六个点．现从这六个点中任选其中三个不同点构成一个三角形，记该三角形的面积为随机变量S．
（1）求S=
3
2
的概率；
（2）求S的分布列及数学期望E（S）．
PM2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．根据现行国家标准GB3095-2012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米-75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标，如图是某市3月1日到15日每天的PM2.5日均值监测数据．某人随机选择3月1日到3月14日中的某一天到达该市，并停留2天．

（Ⅰ）求此人到达当日空气质量为一级的概率：
（Ⅱ）由图判断从哪天开始连续三天PM2.5的日均值方差最大？（可直接给出结论，不要求证明）
（Ⅲ）求此人在该市停留期间只有1天空气质量超标的概率．
已知函数f（x）=cos（
π
4
x-
π
3
）+2cos2
π
8
x．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及最值；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，若f（a）=1+
3
2
，a∈（0，5），A=
π
3
，b=1，求边c的值．
（1）证明：xlnx≥x-1；
（2）讨论函数f（x）=ex-ax-1的零点个数．
已知函数f（x）的定义域为D，若它的值域是D的子集，则称f（x）在D上封闭．
（Ⅰ）试判断f（x）=2x，g（x）=log2x是否在（1，+∞）上封闭；
（Ⅱ）设f1（x）=f（x），fn（x）=f（fn-1（x））（n∈N*，n≥2），若fn（x）（n∈N*）的定义域均为D，求证：fn（x）在D上封闭的充分必要条件是f1（x）在D上封闭；
（Ⅲ）若a＞0，求证：h（x）=
2
2
（|xsinx|+|xcosx|）在[0，a]上封闭，并指出值域为[0，a]时a的值．
已知向量
a
=(sinx，-1)，
b
=(
3
cosx，-
1
2
)，函数f(x)=(
a
+
b
)•
a
-2，求函数f（x）的最小正周期T及值域．
已知某种同品牌的6瓶饮料中有2瓶已过了保质期．
（Ⅰ）从6瓶饮料中任意抽取1瓶，求抽到没过保质期的饮料的概率；
（Ⅱ）从6瓶饮料中任意抽取2瓶（不分先后顺序）．
（i）写出所有可能的抽取结果；
（ii）求抽到已过保质期的饮料的概率．

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