Question

12．已知|$\overrightarrow{a}$|=4，|$\overrightarrow{b}$|=3，（2$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow{b}$）•（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）=61．
（1）求向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角θ；    
（2）求|$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$|．

Answer 1

分析 （1）先求出$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=-6，再根据夹角公式计算即可，
（2）先平方，再根据向量的数量积运算即可．

解答 解：（1）∵|$\overrightarrow{a}$|=4，|$\overrightarrow{b}$|=3，（2$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow{b}$）•（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）=61，
∴4|$\overrightarrow{a}$|²-4$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$-3|$\overrightarrow{b}$|²=61，
即64-4$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-27=61，
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=-6，
∴cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{b}|}$=$\frac{-6}{4×3}$=-$\frac{1}{2}$，
∴θ=120°，
（2）|$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$|²=|$\overrightarrow{a}$|²+4$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$+4|$\overrightarrow{b}$|²=16-24+36=28，
∴|$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$|²=2$\sqrt{7}$

点评 本题考查向量的数量积的运算，向量的夹角公式，向量的模，考查计算能力，属于基础题