Question

已知函数f（x）=sin（2x-

11

6

π）+cos（

7π

3

-2x）（x∈R）．
（Ⅰ）用“五点法”画出函数f（x）在一个周期内的图象
（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期和单调增区间；
（Ⅲ）在区间[-

π

4

，

π

4

]上的最大值和最小值．

Answer 1

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式,正弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式为f（x）=2sin（2x+

π

6

），再利用五点法作图作出函数y=Asin（ωx+φ）的图象．
（Ⅱ）函数f（x）的最小正周期为

2π

2

，令2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，求得x的范围，可得函数的增区间．
（Ⅲ） 当x∈[-

π

4

，

π

4

]时，根据正弦函数的定义域和值域求得函数在区间[-

π

4

，

π

4

]上的最大值和最小值．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=sin（2x-

11

6

π）+cos（

7π

3

-2x）=sin（2x+

π

6

）+cos（2x-

π

3

）=2sin（2x+

π

6

）．
列表如下：

画出图象如下：


（Ⅱ）函数f（x）的最小正周期为

2π

2

=π，令2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，
求得 kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈z，所以函数f（x）的单调增区间为[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，(k∈Z)．
（Ⅲ）∵当x∈[-

π

4

，

π

4

]时，2x+

π

6

∈[-

π

3

，

2π

3

]，
∴当2x+

π

6

=

π

2

，即x=

π

6

时，f（x）取得最大值为f(

π

6

)=2sin

π

2

=2；
当2x+

π

6

=-

π

3

，即x=-

π

4

时，f（x）取得最小值为f(-

π

4

)=2sin(-

π

3

)=-

3

．

点评：本题主要考查三角恒等变换，用五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象，正弦函数的周期性、单调性、定义域和值域，属于基础题．