题目内容

已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率为
6
3
，短轴一个端点到右焦点的距离为
3
，试求椭圆C的标准方程．
考点：椭圆的标准方程
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：由已知条件得
c
a
=
6
3
a=
3
，由此能求出椭圆方程．
解答： 解：∵椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率为
6
3
，
短轴一个端点到右焦点的距离为
3
，
∴
c
a
=
6
3
a=
3
，解得a=
3
，c=
2
，
∴b2=3-2=1．
∴椭圆C的标准方程是：
x2
3
+y2=1．
点评：本题考查椭圆方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意椭圆简单性质的合理运用．
练习册系列答案
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过抛物线y2=4x的焦点作斜率为2的直线交抛物线于A、B两点，求AB的长度．（注：若A（x1，y2）、B（x2，y2），弦长AB=
1+k2
(x1+x2)2-4x1x2
）
设函数fn（x）=x-（3n-1）x2（其中n∈N*），区间In={x|fn（x）＞0}．
（Ⅰ）定义区间（α，β）的长度为β-α，求区间In的长度；
（Ⅱ）把区间In的长度记作数列{an}，令bn=an•an+1，
（1）求数列{bn}的前n项和Tn；
（2）是否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得T1，Tm，Tn成等比数列？若存在，求出所有的m，n的值；若不存在，请说明理由．
M是椭圆T：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上任意一点，F是椭圆T的右焦点，A为左顶点，B为上顶点，O为坐标原点，如下图所示，已知|MF|的最大值为3+
5
，最小值为3-
5
．
（1）求椭圆T的标准方程；
（2）求△ABM的面积的最大值S0．若点N（x，y）满足x∈Z，y∈Z，称点N为格点．问椭圆T内部是否存在格点G，使得△ABG的面积S∈（6，S0）？若存在，求出G的坐标；若不存在，请说明理由．（提示：点P（x0，y0）在椭圆T内部?
x02
a2
+
y02
b2
＜1）．
某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数．
sin245°+cos270°+sin45°cos75°
sin215°+cos245°+sin15°cos45°
sin236°+cos266°+sin36°cos66°
sin2（-15°）+cos215°+sin2（-15°）cos15°
sin2（-45°）+cos2（-15°）+sin（-45°）cos（-15°）
（1）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
（2）根据（1）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．
已知函数f（x）=sin（2x-
11
6
π）+cos（
7π
3
-2x）（x∈R）．
（Ⅰ）用“五点法”画出函数f（x）在一个周期内的图象
（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期和单调增区间；
（Ⅲ）在区间[-
π
4
，
π
4
]上的最大值和最小值．
已知sinα=
5
13
，且α∈（
π
2
，π）．
（1）求tanα的值；
（2）求
cos2α
2
sin(α+
π
4
)
的值．
已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinA：sinB：sinC=3：2：4，则cosC=
 
．
已知a，b为直线，α，β，γ为平面，有下列三个命题：
（1）a∥α，b∥β，则a∥b；      
（2）a⊥γ，b⊥γ，则a∥b；
（3）a∥b，b?α，则a∥α；     
（4）a⊥b，a⊥α，则b∥α；
其中正确命题是
 
．

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