已知数列{an}.如果数列{bn}满足b1=a1.bn=an+an-1(n≥2.n∈N*)．则称数列{bn}是数列{an}的“生成数列．(1)若数列{an}的通项为数列an=n.写出数列{an}的“生成数列 {bn}的通项公式．(2)若数列{cn}的通项为数列cn=An+B..试问数列{cn}的“生成数列 {ln}是否是等差数列.请说明理由．(3)若数列{dn}� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

17．已知数列{a_n}，如果数列{b_n}满足b₁=a₁，b_n=a_n+a_n-1（n≥2，n∈N^*）．则称数列{b_n}是数列{a_n}的“生成数列”．
（1）若数列{a_n}的通项为数列a_n=n，写出数列{a_n}的“生成数列”{b_n}的通项公式．
（2）若数列{c_n}的通项为数列c_n=An+B，（A，B是常数），试问数列{c_n}的“生成数列”{l_n}是否是等差数列，请说明理由．
（3）若数列{d_n}的通项公式为d_n=2ⁿ+n，设数列{d_n}的“生成数列”{p_n}的前n项和为T_n，问是否存在自然数m满足（T_n-2014）（T_n-6260）≤0，若存在，请求出m的值，否则请说明理由．

分析（1）分类讨论可得当n≥2时，b_n=2n-1；从而求通项公式；
（2）分类讨论，从而令2A+2B-A=A+B，从而讨论可得；
（3）分类讨论，从而求得p₁=3，当n≥2时，p_n=3•2^n-1+2n-1；从而拆项求其和即可．

解答解：（1）当n=1时，b₁=a₁=1，
当n≥2时，b_n=a_n+a_n-1=n+n-1=2n-1；
易知当n=1时上式也成立；
故{b_n}的通项公式为b_n=2n-1；
（2）当n=1时，l₁=c₁=A+B，
当n≥2时，l_n=c_n+c_n-1=An+B+A（n-1）+B=2An+2B-A；
令2A+2B-A=A+B得B=0，
故当B=0时，{l_n}也是等差数列，
当B≠0时，{l_n}不是等差数列；
（3）当n=1时，p₁=d₁=2+1=3，
当n≥2时，p_n=d_n+d_n-1=2ⁿ+n+2^n-1+n-1=3•2^n-1+2n-1；
T_n=3+（6+3）+（12+5）+…+（3•2^n-1+2n-1）
=$\frac{3（1-{2}^{n}）}{1-2}$+$\frac{3+2n-1}{2}$•（n-1）
=3（2ⁿ-1）+（n+1）（n-1），
=3•2ⁿ+n²-4，
由（T_n-2014）（T_n-6260）≤0知，
2014≤3•2ⁿ+n²-4≤6260，且n∈N；
解得，n=10．