Question

【题目】如图，已知抛物线的焦点是，准线是，抛物线上任意一点到轴的距离比到准线的距离少2.

（1）写出焦点的坐标和准线的方程；

（2）已知点，若过点的直线交抛物线于不同的两点（均与不重合），直线分别交于点，求证：.

Answer 1

【答案】（1）焦点为，准线的方程为；（2）详见解析.

【解析】

（1）由已知得抛物线的准线方程为，从而得抛物线方程，焦点坐标；

（2）设直线的方程为：，令,直线方程代入抛物线方程，整理后由韦达定理得，由直线方程求出的坐标，计算即可证得结论．

解：（1）由题意知，任意一点到焦点的距离等于到直线的距离，由抛物线的定义得抛物线标准方程为，

所以抛物线的焦点为，准线的方程为；

（2）设直线的方程为：，令，

联立直线的方程与抛物线的方程，消去得，

由根与系数的关系得：

直线方程为：，

当时，，∴，同理得：，

∴，

∴

，

∴，∴.