Question

【题目】已知函数.

（1）若在上单调递增，求实数的取值范围；

（2）若时，求证：对于任意的，均有.

Answer 1

【答案】(1);(2)证明过程见解析

【解析】

(1)求出函数的导数及二阶导数，由二阶导数的符号推出在上单调递增，因此求出使的a的取值范围即可；(2)对函数在上的单调性进行讨论，证明其最小值非负即可证明对于任意的，均有.

（1）

，

，

当时，，，则，

所以函数在上单调递增，

若在上单调递增，则在上恒成立，

所以；

（2）由(1)知，，

当时，恒成立，

当时，，此时；当时，，

当时，，此时，

所以函数在上单调递增，在上单调递减，

而，则，，，

则函数在上有且仅有一个零点，设该零点为，

则时，，时，，

所以函数在上单调递增，上单调递减，

因为，，

当时，，

当时，

因为，所以，

因为，所以时，，

即对任意的，均有.