Question

【题目】已知函数

（1）若，求函数的单调区间；

（2）若，求证：；

Answer 1

【答案】（1）单调递增区间为.（2）见解析

【解析】

（1）根据题意由函数的解析式求出函数的导数，则，令，求出的导数，分析在的最小值，分析可得，由函数的单调性与函数导数的关系，分析可得答案；

（2）根据题意，原问题可以转化为，设，分析可得只须证成立，求出函数的导数，结合函数的导数与函数单调性的关系，分析可得的最小值，证明其最小值大于0即可得答案.

（1）因为，

令，则.

令，得(依题意)，

由，得；由，得.

所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，

所以

因为，所以.

所以，即

所以函数的单调递增区间为.

（2）由，等价于，

等价于

设，只须证成立.

因为

由，得有异号两根.

令其正根为，则.

在上，在上，

则的最小值为，

，所以

则，因此，

即，所以

所以