Question

若函数y=a^x+b（a＞0，a≠1）的图象过P（0，0）与Q（1，9）两点，设函数f（x）=log_a（x+b）．
（1）若函数g（x）=f（x）+f（x+m+1）在区间[2，+∞）上是单调递增的，求实数m的取值范围；
（2）令h（x）=f（2^x）+f（2^x+1），不等式h（x）＞lgk对任意的x∈[1，2]恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：指数函数的图像与性质

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）由题意得到方程组

0=a0+b 9=a1+b

，从而解出a、b；代入得到g（x）=lg（x-1）+lg（x+m），从而求实数m的取值范围；
（2）易知h（x）=lg（2^x-1）+lg（2^x）在[1，2]上是增函数，恒成立问题化成最值问题．

解答： 解：（1）由题意，

0=a0+b 9=a1+b

，
解得，a=10，b=-1，
则f（x）=lg（x-1），
则g（x）=lg（x-1）+lg（x+m），
∵g（x）=lg（x-1）+lg（x+m）在区间[2，+∞）上是单调递增的，
∴由二次函数的图象可知，m＜2，
（2）h（x）=lg（2^x-1）+lg（2^x）在[1，2]上是增函数，
则h（x）_min=h（1）=lg2，
则不等式h（x）＞lgk对任意的x∈[1，2]恒成立可化为
lg2＞lgk，
则0＜k＜2．

点评：本题考查了指数函数与对数函数的性质应用，属于基础题．