Question

6．如图，双曲线$C：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的左、右焦点F₁（-c，0），F₂（c，0），A为双曲线C右支上一点，且OA=c，AF₁与y轴交于点B，若F₂B是∠AF₂F₁的角平分线，则双曲线C的离心率是1+$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 运用直角三角形的判定，可得AB⊥AF₂，再由内角平分线性质可得即有|BA|=|BO|，|OF₂|=|AF₂|=c，由双曲线的定义可得|AF₁|-|AF₂|=2a，运用勾股定理，化简整理，结合离心率公式解方程，即可得到．

解答 解：由O为F₁F₂的中点，
且|OA|=c，
|OF₁|=|OF₂|=c，
可得AB⊥AF₂，
F₂B是∠AF₂F₁的角平分线，
即有|BA|=|BO|，
|OF₂|=|AF₂|=c，
由双曲线的定义可得|AF₁|-|AF₂|=2a，
则|AF₁|=c+2a，
即有在直角三角形AF₁F₂中，c²+（c+2a）²=4c²，
即c²-2ac-2a²=0，
由e=$\frac{c}{a}$，可得e²-2e-2=0，
解得e=1+$\sqrt{3}$或1-$\sqrt{3}$，
由于e＞1，则e=1+$\sqrt{3}$．
故答案为：1+$\sqrt{3}$．

点评 本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要考查离心率的求法，运用直角三角形的勾股定理和内角平分线性质是解题的关键．