Question

14．已知函数f（x），g（x）满足关系式f（x）=g（|x-1|）（x∈R）．若方程f（x）-cosπx=0恰有7个根，则7个根之和为（　　）

• A． 3
• B． 5
• C． 7
• D． 9

Answer 1

分析 函数y=g（|x|）是偶函数，y=g（|x-1|）是把y=g（|x|）向右平移1个单位得到的，可得y=f（x）的图象关于直线x=1对称．再由x=1是f（x）=cosπx的一条对称轴，可得y=f（x）的图象与y=cosπx的图象有3对交点关于直线x=1对称，有1个交点为（1，1）．结合中点坐标公式得答案．

解答 解：函数y=g（|x|）是偶函数，其图象关于直线x=0对称，
而y=g（|x-1|）是把y=g（|x|）向右平移1个单位得到的，
∴y=g（|x-1|）的图象关于直线x=1对称．
即y=f（x）的图象关于直线x=1对称．
方程f（x）-cosπx=0恰有7个根，即方程f（x）=cosπx恰有7个根，
也就是y=f（x）的图象与y=cosπx的图象有7个交点，
而x=1是f（x）=cosπx的一条对称轴，
∴y=f（x）的图象与y=cosπx的图象有3对交点关于直线x=1对称，有1个交点为（1，1）．
由中点坐标公式可得：y=f（x）的图象与y=cosπx的图象交点的横坐标和为3×2+1=7．
故选：C．

点评 本题考查根的存在性及根的个数判断，由y=g（|x-1|）得到函数y=f（x）图象的对称性是解题的关键，是中档题．