Question

11．设数列{x_n}满足x_n=3x_n-1+2（n≥2且n∈N^*），x₁=2．
（1）求证：{x_n+1}是等比数列，并求出数列{x_n}的通项公式；
（2）对任意的正整数n，当m∈[-1，1]时，不等式$3{t^2}-6mt+\frac{1}{2}＞\frac{1}{x_n}$恒成立，求实数t的取值范围；
（3）求证：$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+…+\frac{1}{x_n}＜\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 （1）判断数列{x_n+1}是首项为3，公比为3的等比数列．然后求解通项公式．
（2）要使对任意的正整数n，当m∈[-1，1]时，不等式$3{t^2}-6mt+\frac{1}{2}＞\frac{1}{x_n}$恒成立，转化为：$3{t^2}-6mt+\frac{1}{2}＞{（{\frac{1}{x_n}}）_{max}}=\frac{1}{2}$，然后求解实数t的取值范围．
（3）由（1）知$\frac{1}{x_n}=\frac{1}{{{3^n}-1}}$，当n≥1时，3ⁿ-1≥2×3^n-1，利用放缩法以及等比数列求和，证明即可．

解答 解：（1）证明：由x_n=3x_n-1+2（n≥2且n∈N^*）得x_n+1=3（x_n-1+1）（n≥2且n∈N^*）
∵x₁+1=3，∴x_n+1≠0，∴$\frac{{{x_n}+1}}{{{x_{n-1}}+1}}=3$，（n≥2且n∈N^*）
∴{x_n+1}是首项为3，公比为3的等比数列．
∴${x_n}+1=（{{x_1}+1}）{3^{n-1}}={3^n}$．
∴${x_n}={3^n}-1$，n∈N^*．
（2）要使对任意的正整数n，当m∈[-1，1]时，不等式$3{t^2}-6mt+\frac{1}{2}＞\frac{1}{x_n}$恒成立，
则须使$3{t^2}-6mt+\frac{1}{2}＞{（{\frac{1}{x_n}}）_{max}}=\frac{1}{2}$，
即t²-2mt＞0，对任意m∈[-1，1]恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{t^2}-2t＞0\\{t^2}+2t＞0\end{array}\right.$，解得t＞2或t＜-2，
∴实数t的取值范围为（-∞，-2）∪（2，+∞）．
（3）证明：由（1）知$\frac{1}{x_n}=\frac{1}{{{3^n}-1}}$，当n≥1时，3ⁿ-1≥2×3^n-1，
∴$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+…+\frac{1}{x_n}≤\frac{1}{2}（{\frac{1}{3^0}+\frac{1}{3^1}+…+\frac{1}{{{3^{n-1}}}}}）=\frac{3}{4}（{1-\frac{1}{3^n}}）＜\frac{3}{4}$，
所以$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+…+\frac{1}{x_n}＜\frac{3}{4}$．

点评 本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，数列与不等式的综合应用，考查计算能力．