题目内容

17.某同学在一次研究性学习中发现,以下5个不等关系式子
 ①$\sqrt{3}$-1>$2-\sqrt{2}$
②$2-\sqrt{2}$>$\sqrt{5}-\sqrt{3}$
③$\sqrt{5}-\sqrt{3}$>$\sqrt{6}-2$
④$\sqrt{6}-2$>$\sqrt{7}-\sqrt{5}$
⑤$\sqrt{7}-\sqrt{5}$>$2\sqrt{2}-\sqrt{6}$
(1)上述五个式子有相同的不等关系,分析其结构特点,请你再写出一个类似的不等式
(2)请写出一个更一般的不等式,使以上不等式为它的特殊情况,并证明.

分析 (1)观察分析得到结论;
(2)利用分析法证明即可.

解答 解:(1)$\sqrt{10}-2\sqrt{2}>\sqrt{11}-3$
(2)$\sqrt{a+2}-\sqrt{a}>\sqrt{a+3}-\sqrt{a+1}$
证明:要证原不等式,只需证$\sqrt{a+2}+\sqrt{a+1}>\sqrt{a+3}+\sqrt{a}$
因为不等式两边都大于0
只需证$2a+3+2\sqrt{(a+2)(a+1)}>2a+3+2\sqrt{a(a+3)}$
只需证$\sqrt{{a^2}+3a+2}>\sqrt{{a^2}+3a}$
只需证a2+3a+2>a2+3a
只需证2>0
显然成立
所以原不等式成立

点评 本题考查归纳推理,考查分析法的运用,属于中档题.

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