Question

1．已知⊙C₁：（x+1）²+y²=1，⊙C₂：（x-1）²+y²=r²（r＞0），⊙C₁内切⊙C₂于点A，P是两圆公切线l上异于A的一点，直线PQ切⊙C₁于点Q，PR切⊙C₂于点R，且Q，R均不与A重合，直线C₁Q，C₂R相交于点M．
（1）求M的轨迹C的方程；
（2）若直线MC₁与x轴不垂直，它与C的另一个交点为N，M′是点M关于x轴的对称点，求证：直线NM′过定点．

Answer 1

分析 （1）由⊙C₁内切⊙C₂于点A，求出⊙C₂的方程为（x-1）²+y²=9，由直线PQ切⊙C₁于点Q，PR切⊙C₂于点R，得到C₁Q⊥PQ，C₂R⊥PR，连结PM，推导出点M的轨迹C是以C₁，C₂为焦点，长轴长为4的椭圆（除去长轴端点），由此能求出M的轨迹C的方程．（2）设直线MN的方程为x=ty-1（t≠0），联立$\left\{\begin{array}{l}{x=ty-1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，得：（3t²+4）y²-6ty-9=0，由此利用根的判别式、韦达定理、直线方程，结合已知条件，能证明直线NM′过定点（-4，0）．

解答 解：（1）∵⊙C₁：（x+1）²+y²=1，⊙C₂：（x-1）²+y²=r²（r＞0），⊙C₁内切⊙C₂于点A，
∴r-1=2，解得r=3，
∴⊙C₂的方程为（x-1）²+y²=9，
∵直线PQ切⊙C₁于点Q，PR切⊙C₂于点R，
∴C₁Q⊥PQ，C₂R⊥PR，
连结PM，在Rt△PQM与Rt△PRM中，
|PQ|=|PA|=|PR|，|PM|=|PM|，
∴|QM|=|RM|，
∴|MC₁|+|MC₂|=|MQ|+|C₁Q|=|MR|+|C₁Q|+|C₂M|=|C₁Q|+|C₂R|=4＞2=|C₁C₂|，
∴点M的轨迹C是以C₁，C₂为焦点，长轴长为4的椭圆（除去长轴端点），
∴M的轨迹C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1（y≠0）．
证明：（2）依题意，设直线MN的方程为x=ty-1（t≠0），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则M′（x₁，-y₁），且x₁≠x₂，y₁+y₂≠0，
联立$\left\{\begin{array}{l}{x=ty-1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，消去x，并整理，得：（3t²+4）y²-6ty-9=0，
△=（-6t）²-4×（-9）（3t²+4）=144t²+144＞0，
${y}_{1}+{y}_{2}=\frac{6t}{3{t}^{2}+4}$，${y}_{1}{y}_{2}=-\frac{9}{3{t}^{2}+4}$，
直线M′N的方程为y+y₁=$\frac{{y}_{2}+{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}（x-{x}_{1}）$，
令y=0，得：
x=$\frac{{y}_{1}（{x}_{2}-{x}_{1}）}{{y}_{2}+{y}_{1}}+{x}_{1}$=$\frac{{y}_{1}{x}_{2}+{x}_{1}{y}_{2}}{{y}_{2}+{y}_{1}}$
=$\frac{{y}_{1}（t{y}_{2}-1）+{y}_{2}（t{y}_{1}-1）}{{y}_{2}+{y}_{1}}$
=$\frac{2t{y}_{1}{y}_{2}}{{y}_{2}+{y}_{1}}-1$
=$\frac{\frac{-18t}{3{t}^{2}+4}}{\frac{6t}{3{t}^{2}+4}}$-1=-4．
∴直线NM′过定点（-4，0）．

点评 本题考查点的轨迹方程的求法，考查直线过定点的证明，考查椭圆、根的判别式、韦达定理、直线方程等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，考查创新意识、应用意识，是中档题．