Question

已知在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=

5

2

-

1

an

，b_n=

1

an-2

，则b_n=

 

．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：把已知递推式变形，取倒数后转化为b_n+1=4b_n+2，然后利用构造法得到新的等比数列{bn+

2

3

}，求出该等比数列的通项公式后得到b_n．

解答： 解：由a_n+1=

5

2

-

1

an

，得an+1-2=

1

2

-

1

an

，
∴an+1-2=

an-2

2an

，

1

an+1-2

=

2an

an-2

，

1

an+1-2

=

4

an-2

+2，
∵b_n=

1

an-2

，
∴b_n+1=4b_n+2，
则bn+1+

2

3

=4(bn+

2

3

)，
∵b1=

1

a1-2

=

1

1-2

=-1，b1+

2

3

=-

1

3

≠0．
∴

bn+1+ 2 3

bn+ 2 3

=4．
∴数列{bn+

2

3

}构成以4为公比的等比数列．
∴bn+

2

3

=(-

1

3

)•4n-1．
bn=-

1

3

•22n-2-

2

3

．
故答案为：-

1

3

•22n-2-

2

3

．

点评：本题考查了数列递推式，考查了数列构造法，解答的关键是把已知递推式变形，是中档题．