Question

如图正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，下面结论正确的是

 

（把你认为正确的结论序号都填上）
①AC∥平面DA₁C₁；
②BD₁⊥平面DA₁C₁； 
③过点B与异面直线AC和A₁D所成角均为60°；  
④四面体DA₁D₁C₁与ABCD-A₁B₁C₁D₁的内切球半径之比为

3

3

；
⑤与平面DA₁C₁平行的平面与正方体的各个面都有交点，则这个截面的周长为定值．

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：①由于AC∥A₁C₁，利用线面平行的判定定理即可判断出AC∥平面DA₁C₁；
②由于BD₁⊥A₁D，BD₁⊥C₁D，利用线面垂直的判定定理可得BD₁⊥平面DA₁C₁；
③由于异面直线AC和A₁D所成的角为60°，可得过点B与异面直线AC和A₁D所成的角均为60°的直线有且只有1条．
④设AA₁=a，可求得四面体DA₁D₁C₁内切球半径为

1

3+ 3

a，而正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的内切球半径为

1

2

a，即可得出所求的比．
⑤将正方体沿D₁A₁、A₁B₁、B₁C、CD、DD₁展开到一个平面上，如图所示，易知截面多边形EFGHIJ的周长为定值，等于3

2

a（a为正方体的棱长）．

解答： 解：①∵AC∥A₁C₁，AC?平面A₁C₁D，A₁C₁?平面A₁C₁D，∴AC∥平面DA₁C₁，因此①正确；
②BD₁⊥A₁D，BD₁⊥C₁D，A₁D∩C₁D=D，∴BD₁⊥平面DA₁C₁，因此②正确；
③∵异面直线AC和A₁D所成的角为60°，∴过点B与异面直线AC和A₁D所成的角均为60°的直线有且只有1条．故③错误．
④设AA₁=a，可求得四面体DA₁D₁C₁内切球半径为

1

3+ 3

a，而正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的内切球半径为

1

2

a，故所求的比应为1-

3

3

．故④错误．
⑤将正方体沿D₁A₁、A₁B₁、B₁C、CD、DD₁展开到一个平面上，如图所示，易知截面多边形EFGHIJ的周长为定值，等于3

2

a（a为正方体的棱长），故⑤正确．
综上可知：正确的有①、②、⑤．
故答案为：①②⑤．

点评：本题综合考查了线面平行于垂直的判定定理和性质定理、异面直线所成的角、内切球的性质、展开图等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．