Question

如图所示，某市政府决定在以政府大楼为中心，正北方向和正东方向的马路为边界的扇形地域内建造一个图书馆.为了充分利用这块土地，并考虑与周边环境协调，设计要求该图书馆底面矩形的四个顶点都要在边界上，图书馆的正面要朝市政府大楼.设扇形的半径 ，，与之间的夹角为.

（1）将图书馆底面矩形的面积表示成的函数.
（2）求当为何值时，矩形的面积有最大值？其最大值是多少？(用含R的式子表示)

Answer 1

（1）；（2）当时，矩形ABCD的面积S有最大值.

试题分析：（1）由题先用表示出,再用面积公式求出即可；（2）由的取值范围，先求出的取值，根据函数的单调性求出的最大值及此时的值.
试题解析：（1）由题意可知，点M为的中点，所以.
设OM于BC的交点为F，则，.
.       3分
所以
，.    8分
（2）因为，则.     10分
所以当 ，即时，S有最大值.   13分
.     15分
故当时，矩形ABCD的面积S有最大值.16分