Question

19．已知条件p：$\frac{4}{x-1}$≤-1，条件q：x²+x＜a²-a，且p是q的一个必要不充分条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 利用不等式的解法、函数的性质分别化简命题p，q．对a分类讨论，利用简易逻辑的判定方法即可得出．

解答 解：由$\frac{4}{x-1}≤-1$解得p：-3≤x＜1，
由x²+x＜a²-a得（x+a）[x-（a-1）]＜0，
当$a=\frac{1}{2}$时，可得q：∅；
当$a＜\frac{1}{2}$时，可得q：（a-1，-a）；
当$a＞\frac{1}{2}$时，可得q：（-a，a-1）．
由题意得，p是q的一个必要不充分条件，
当$a=\frac{1}{2}$时，满足条件；当$a＜\frac{1}{2}$时，（a-1，-a）?[-3，1）得$a∈[{-1，\frac{1}{2}}）$，
当$a＞\frac{1}{2}$时，（-a，a-1）?[-3，1）得$a∈（{\frac{1}{2}，2}]$．
综上，a∈[-1，2]．

点评 本题考查了不等式的解法、函数的性质、简易逻辑的判定方法，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．