Question

8．（1）解不等式|x-1|+|x-2|≥5
（2）已知$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$=1（m＞0，n＞0）若m+4n≥|x-1|-|x-a|对?x∈R恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．
（2）利用基本不等式求得m+4n的最小值为9，利用绝对值三角不等式可得9≥|x-1|-|x-a|≥|a-1|，由此求得a的范围．

解答 （1）解：不等式|x-1|+|x-2|≥5，等价于$\left\{\begin{array}{l}{x≥2}\\{2x-3≥5}\end{array}\right.$ ①，或 $\left\{\begin{array}{l}{1＜x＜2}\\{1≥5}\end{array}\right.$ ②，或$\left\{\begin{array}{l}{x≤1}\\{3-2x≥5}\end{array}\right.$③．
解①求得x≥4，解②求得x∈∅，解③求得x≤-1，
∴原不等式的解集为{x|x≥4，或x≤-1 }．
（2）∵已知$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$=1（m＞0，n＞0），∴m+4n=（m+4n）•（$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$）=5+$\frac{4n}{m}$+$\frac{m}{n}$≥5+2$\sqrt{4}$=9，
当且仅当m=3，n=$\frac{3}{2}$时取等号．
∵m+4n≥|x-1|-|x-a|恒成立，∴9≥|x-1|-|x-a|≥|（x-1）-（x-a）|=|a-1|恒成立，
结合绝对值三角不等式可得|a-1|≤9，-9≤a-1≤9，∴-8≤a≤10，
所以，实数a的取值范围为[-8，10]．

点评 本题主要考查绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．