Question

16．若0≤x≤2，$y=\frac{1}{2}×{4^x}-3×{2^x}+5$，求y的最大值与最小值以及相对应的x的值．

Answer 1

分析 令t=2^x，由0≤x≤2，得1≤t≤4，
可得$y=\frac{1}{2}{t^2}-3×t+5=\frac{1}{2}{（t-3）^2}+\frac{1}{2}$
则当t=3，即x=log₂3时，y取得最小值$\frac{1}{2}$，利用二次函数的图象与性质，可求解．

解答 解：令t=2^x，因为0≤x≤2，所以1≤t≤4，
所以$y=\frac{1}{2}{t^2}-3×t+5=\frac{1}{2}{（t-3）^2}+\frac{1}{2}$，
则当t=3，即x=log₂3时，y取得最小值$\frac{1}{2}$；  
当t=1，即x=0时，f（x）取得最大值$\frac{5}{2}$．

点评 本题考查了用换元法求函数值域，考查了二次函数的性质，属于中档题．