Question

15．已知函数g（ x）=e ^x+$\frac{a}{2}$x²，其中a∈R，e=2.71828…为自然对数的 底数，f （ x）是 g（ x）的导函数．
（Ⅰ）求 f（ x） 的极值；
（Ⅱ）若a=-1，证明：当 x₁≠x₂，且f （ x₁ ）=f （ x₂） 时，x₁+x₂＜0．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；
（Ⅱ）求出函数f（x）的导数，设函数F（x）=f（x）-f（-x），求出函数的导数，根据函数的单调性证明即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=e^x+ax的定义域为（-∞，+∞），f′（x）=e^x+a，
当a≥0时，f′（x）＞0在x∈（-∞，+∞）时成立，
∴f（x）在（-∞，+∞）上单调递增，f（x）无极值；
当a＜0时，f′（x）=e^x+a=0解得x=ln（-a），
∴f（x）在（-∞，ln（-a））上单调递减，f（x）在（ln（-a），+∞）上单调递增，
f（x）有极小值$aln（{-a}）-a=aln（{\frac{-a}{e}}）$．
（Ⅱ）证明：当a=-1时，f（x）=e^x-x的定义域为（-∞，+∞），f′（x）=e^x-1，
由f′（x）=e^x-1=0，解得x=0．当x变化时，f′（x），f（x）变化情况如下表：

x	（-∞，0）	0	（0，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	单调递减	极小值	单调递增

∵x₁≠x₂，且f（x₁）=f（x₂），则x₁＜0＜x₂（不妨设x₁＜x₂）
设函数$F（x）=f（x）-f（-x）={e^x}-x-（{e^{-x}}+x）={e^x}-\frac{1}{e^x}-2x，x＜0$，
∴${F^'}（x）={e^x}+\frac{1}{e^x}-2$．∵当x＜0时，0＜e^x＜1，∴${e^x}+\frac{1}{e^x}＞2$，
∴当x＜0时，F′（x）＞0．∴函数F（x）在（-∞，0）上单调递增，
∴F（x）＜F（0）=0，即当x＜0时，f（x）＜f（-x），
∵x₁＜0，∴f（x₁）＜f（-x₁），
又f（x₁）=f（x₂），∴f（x₂）＜f（-x₁），
∵f（x）在（0，+∞）上单调递增，0＜x₂，且0＜-x₁，
又f（x₂）＜f（-x₁），∴x₂＜-x₁，
∴x₁+x₂＜0．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．