Question

1．双曲线x²-y²=8的在左、右焦点分别是F₁、F₂，点P_n（x_n，y_n）（n=1，2，3，…）在其右支上，且满足|P_n+1F₂|=|P_nF₁|，P₁F₂⊥F₁F₂，则x₂₀₁₆的值是8064．

Answer 1

分析 根据题意可求得P₁点的横坐标x₁（就是右焦点F₂的横坐标），利用两点间的距离公式由|P_n+1F₂|=|P_nF₁|可求得x_n+1-x_n=4，从而利用等差数列的通项公式即可求得x₂₀₁₆的值．

解答 解：∵a²=8，b²=8，
∴c=4，即x₁=4，又|P_n+1F₂|=|P_nF₁|，
∴（x_n+1-4）²+y_n+1²=（x_n+4）²+y_n²，
即x_n+1²-8x_n+1+16+y_n+1²=x_n²+8x_n+16+y_n²，
∴（x_n+1+x_n）（x_n+1-x_n-4）=0，
由题意知，x_n＞0，
∴x_n+1-x_n=4，
∴{x_n}是以4为首项，4为公差的等差数列，
∴x₂₀₁₆=x₁+2015×4=4+8060=8064．
故答案为：8064．

点评 本题考查双曲线的简单性质，突出考查等差数列的通项公式，通过分析运算得到x_n+1-x_n=4是关键，