Question

11．已知函数$f（x）=x-\frac{1}{x^m}，x∈（{0，+∞}）$，且$f（2）=\frac{3}{2}$
（1）求f（x）的解析式，并判断函数的奇偶性；
（2）判断函数f（x）在其定义域（0，+∞）上的单调性，并用单调性的定义证明；
（3）解不等式：$f（{3^{x-2}}-1）＜f（{9^{\frac{x}{3}}}-1）$．

Answer 1

分析 （1）由题意：$f（2）=\frac{3}{2}$，代入计算求函数f（x）解析式；根据奇偶性的性质判断即可．
（2）利用定于法证明即可．
（3）根据（2）的单调性的性质，利用其解不等式．

解答 解：（1）由题意：$f（2）=\frac{3}{2}$，
所以有：$f（2）=2-\frac{1}{{2}^{m}}$=$\frac{3}{2}$．
解得m=1．
∴f（x）的解析式$f（x）=x-\frac{1}{x}$．
∵x∈（0，+∞），没有关于原点对称，
∴f（x）是非奇非偶函数．
（2）f（x）在其在定义域（0，+∞）上为增函数；
证明：对0＜x₁＜x₂，
有$f（{x_2}）-f（{x_1}）=（{x_2}-\frac{1}{x_2}）-（{x_1}-\frac{1}{x_1}）=\frac{{（{{x_2}-{x_1}}）•（1+{x_2}{x_1}）}}{{{x_1}{x_2}}}$，
∵x₂-x₁＞0，x₁x₂＞0
∴f（x₂）＞f（x₁）
故f（x）在定义域（0，+∞）上为增函数；
（3）由（2）可知f（x）在定义域（0，+∞）上为增函数；
$f（{3^{x-2}}-1）＜f（{9^{\frac{x}{3}}}-1）$等价于$0＜{3^{x-2}}-1＜{9^{\frac{x}{3}}}-1$
即$\left\{\begin{array}{l}{3^{x-2}}＞1\\{3^{x-2}}＜{9^{\frac{x}{3}}}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}x-2＞0\\ x-2＜\frac{2x}{3}\end{array}\right.$，
解得：2＜x＜6．
故不等式的解集为（2，6）

点评 本题考查了函数的基本性质的运用能力和化简计算能力．属于基础题．