Question

(2013·长春三校调研)如图，已知四棱锥P－ABCD的底面为直角梯形，AB∥CD，∠DAB＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝DC＝AB＝1，M是PB的中点．

(1)求证：AM＝CM；

(2)若N是PC的中点，求证：DN∥平面AMC.

[

Answer 1

解析]　(1)在直角梯形ABCD中，AD＝DC＝AB＝1，

∴AC＝，BC＝，∴BC⊥AC，

又PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴BC⊥PA，

又PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，

∴BC⊥PC.

在Rt△PAB中，M为PB的中点，则AM＝PB，

在Rt△PBC中，M为PB的中点，则CM＝PB，

∴AM＝CM.

(2)如图，连接DB交AC于点F，

∵DC綊AB，∴DF＝FB.

取PM的中点G，连接DG，FM，则DG∥FM，

又DG⊄平面AMC，FM⊂平面AMC，

∴DG∥平面AMC.

连接GN，则GN∥MC，∴GN∥平面AMC，

又GN∩DG＝G，∴平面DNG∥平面AMC，

又DN⊂平面DNG，∴DN∥平面AMC.