Question

19．若?x₀∈[1，2]，使不等式${x_0}^2-m{x_0}+4＞0$成立，则m的取值范围是（-∞，5）．

Answer 1

分析 分离变量可得所以m＜$\frac{{x}^{2}+4}{x}$，则?x∈[1，2]，使得m＜$\frac{{x}^{2}+4}{x}$成立，只需m小于f（x）的最大值，然后构造函数，由导数求其单调性，可得取值范围

解答 解：不等式x²-mx+4＞0可化为mx＜x²+4，
故?x∈[1，2]，使得m＜$\frac{{x}^{2}+4}{x}$，
记函数f（x）=$\frac{{x}^{2}+4}{x}$，x∈[1，2]，
只需m小于f（x）的最大值，
由f′（x）=1-$\frac{4}{{x}^{2}}$=0，可得x=2，而且当x∈[1，2]时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
故最大值为f（1），又f（1）=5．m的取值范围是：（-∞，5）．
故答案为：（-∞，5）．

点评 本题为参数范围的求解，构造函数利用导数工具求取值范围是解决问题的工关键，本题要和恒成立区分，易错求成函数的最小值．