题目内容
14．$\frac{1}{{2}^{2}-1}$+$\frac{1}{{3}^{2}-1}$+$\frac{1}{{4}^{2}-1}$+…+$\frac{1}{（n+1）^{2}-1}$的值为（ ）| A． | $\frac{n+1}{2（n+2）}$ | B． | $\frac{3}{4}$-$\frac{n+1}{2（n+2）}$ | C． | $\frac{3}{4}$-$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$） | D． | $\frac{3}{2}$-$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$ |
分析 由$\frac{1}{（n+1）^{2}-1}$=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），运用裂项相消求和，化简整理即可得到所求和．
解答 解：$\frac{1}{（n+1）^{2}-1}$=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），
则$\frac{1}{{2}^{2}-1}$+$\frac{1}{{3}^{2}-1}$+$\frac{1}{{4}^{2}-1}$+…+$\frac{1}{（n+1）^{2}-1}$
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）
=$\frac{1}{2}$（1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）
=$\frac{3}{4}$-$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$）．
故选：C．
点评 本题考查数列求和的方法：裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
练习册系列答案
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4．已知$\overrightarrow{a}$=（2，0），$\overrightarrow{b}$=（-1，3），则$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$的坐标分别为（ ）
| A． | （3，3），（3，-3） | B． | （3，3），（1，-3） | C． | （1，3），（3，3） | D． | （1，3），（3，-3） |